Evanescenze II - Aree

Un altro tipo di evanescenze geometriche riguarda lo spostamento tra aree.

Consideriamo allora un triangolo rettangolo che ha i cateti di 5 e 13 cm, e diviso in aree colorate.

Disegnandolo su una superficie quadrettata sarà più facile rendersi conto del paradosso...

Adesso spostiamo semplicemente di posto le varie aree all'interno del triangolo:

Cosa succede?
Un quadratino manca all'appello... Sembrerebbe scomparso...
Infatti, sembrerebbe...
In realtà il nostro simpatico quadratino non si è mai mosso dal disegno, ma si è limitato a 'cambiare posizione'!
Per renderci conto di cosa è successo dobbiamo disegnare il triangolo un po' più grande:

Abbiamo tracciato in nero il perimetro di un triangolo con cateti di 15 e 39 cm, e colorato le aree che ci interessavano.
Cosa si nota?
Notiamo subito che il triangolo azzurro, che ha i cateti 6 e 15 cm, e quello rosso (9 e 24 cm), non hanno le ipotenuse allineate esattamente con quella del triangolo grande!
In pratica quando consideriamo le aree interne stiamo tralasciando una sottilissima area che potete vedere in bianco sotto l'ipotenusa del triangolo grande.

E adesso disegniamo anche quello che nasce dalla diversa disposizione delle aree:

Si vede chiaramente che la diversa inclinazione delle ipotenuse dei due triangoli interni adesso fa si che il triangolo che risulta dallo spostamento, non coincida con quello che dovrebbe essere il triangolo rettangolo con cateti 15 e 39 cm.

Ecco spiegato come si è formata l'area bianca mancante!

Recapitolando:
1) quando dividiamo il triangolo grande in quattro aree, e consideriamo due triangoli interni che hanno come misure numeri interi, (che a noi fanno comodo così dato che devono coincidere con le misure delle due aree gialla e verde), in realtà non stiamo prendendo l'intera area del triangolo grande, ma ne stiamo tralasciando una sottilissima striscia.
Quindi l'area colorata è minore dell'area del triangolo grande!

2) quando poi eseguiamo lo spostamento creiamo un'area che in realtà va oltre l'ipotenusa del triangolo grande, e che quindi (se teniamo conto anche del quadrato bianco in basso) ha un'area maggiore del triangolo suddetto!
Anche in questo caso l'area in più è una sottile striscia che va oltre l'ipotenusa del triangolo.

3)allora abbiamo preso un'area colorata un po' minore del triangolo grande e l'abbiamo posizionata in modo tale che vada un po' fuori dal perimetro dello stesso triangolo!

4) è chiaro allora che dovrà esserci da qualche parte uno spazio mancante e non ci stupiremo perciò se misurando l'area del quadrato, vedremo che in pratica è la somma tra la striscia bianca che abbiamo considerato nel punto 1 e quella considerata nel punto 2!
Non è mai scomparso quel quadrato bianco, ma si è semplicemente 'spostato'!!!

Il disegno grande ci aiuta molto, ma se disegniamo il tutto in piccolo è quasi impossbile notare cosa è successo!

Infine un piccolo trucco:
è possibile creare questi triangoli facendo in modo tale che i loro cateti siano due numeri che fanno parte della serie di Fibonacci (due numeri cne ne abbiano uno tra essi!).
Questa serie matematica ha la particolarità che ogni elemento è la somma dei due che lo precedono:

1,1,2,3,5,8,13,21,34...

Nella figura in alto infatti, il triangolo grande ha i cateti (5,13) e quelli interni (2,5) e (3,8).

Nel caso della figura grande abbiamo considerato una serie analoga, ma che aveva il primo termine differente:

3,3,6,9,15,24,39...

Inquesto caso le misure sono: (15,39), (6,15), (9,24)!